LEARN · 2026-10-07
齒輪減速比怎麼算？單級、多級與行星齒輪傳動比公式（含扭矩與轉速）
減速比（傳動比）= 從動輪齒數 ÷ 主動輪齒數。本文說明單級與多級齒輪系的減速比、輸出轉速與扭矩、各種傳動的效率，以及行星齒輪減速比 1 + Zr/Zs 的由來與齒數組裝條件，附設計範例。
減速比（傳動比）的定義
減速比 i 是輸入轉速與輸出轉速的比值。兩顆齒輪嚙合時，節圓上的線速度相同，所以轉速與齒數成反比：小齒輪（主動）轉一圈，大齒輪（從動）只轉 z₁ / z₂ 圈。
i = z₂ / z₁ = n₁ / n₂ = d₂ / d₁
例如 15 齒的小齒輪帶動 45 齒的大齒輪，i = 45 / 15 = 3，馬達 3000 rpm 時輸出軸為 1000 rpm。i > 1 為減速、i < 1 為增速。兩個外齒輪嚙合時旋轉方向相反；中間加一顆惰輪只會改變方向，不會改變減速比。
TIP「1:3」與「3:1」的寫法各家習慣不同，台灣業界常說「減速比 3」或「1/3 減速」。看規格時先確認哪一側是輸入，就不會搞反。
轉速、扭矩與功率的關係
n₂ = n₁ / i T₂ = T₁ · i · η P (kW) = T (N·m) × n (rpm) / 9549
齒輪不會產生能量：轉速降為 1/i，扭矩放大 i 倍，再乘上效率 η 扣掉摩擦損失，功率 P 只會變少不會變多。例如 0.5 N·m、3000 rpm 的馬達輸出約 157 W，經過 i = 9、總效率 96% 的減速箱，輸出 333 rpm、4.32 N·m，仍約 151 W。
| 傳動型式 | 單級常用減速比 | 效率參考 |
|---|---|---|
| 正齒輪 / 斜齒輪（鋼、潤滑） | 1–6（≤ 8） | 97–99% |
| 3D 列印塑膠齒輪 | 1–5 | 90–95% |
| 錐齒輪 | 1–5 | 95–98% |
| 行星齒輪（內齒輪固定） | 3–10 | 95–98% |
| 蝸桿蝸輪 | 5–100 | 30–90% |
| 同步皮帶 | 1–6 | 95–98% |
| 滾子鏈 | 1–7 | 95–98% |
效率是概略值：精密研磨的鋼齒輪可達 99%，3D 列印的 PLA、PETG 齒輪因表面粗糙與齒隙，每級約 90–95%；蝸桿蝸輪的效率則高度取決於導程角與潤滑。
多級齒輪系：總減速比等於各級相乘
i 總 = (z₂/z₁) × (z₄/z₃) × (z₆/z₅) … η 總 = η₁ × η₂ × η₃ …
複合齒輪系中，第一級的大齒輪與第二級的小齒輪裝在同一支軸上。以 15→45、12→36 兩級為例：i = 3 × 3 = 9；每級效率 98% 時總效率 0.98² ≈ 96%。單級做到 9 需要 15 齒配 135 齒的大齒輪，兩級則體積小很多。
- 每級減速比建議 ≤ 6–8；需要更大時增加級數，或改用行星齒輪、蝸桿蝸輪。
- 各級減速比可先取總減速比的 n 次方根，例如 i = 20 分兩級約 4.47 × 4.47，實務上可取 4 × 5（15→60、15→75）。
- 20° 壓力角的小齒輪少於 17 齒會根切，可用正變位改善；3D 列印建議 ≥ 12 齒並加變位。
- 齒隙會逐級累積並乘上後級減速比，定位用的減速箱級數越少越好。
TIP讓兩齒輪齒數互質（例如 15:46 而不是 15:45），每對齒會輪流嚙合，磨耗較平均，這就是「獵齒（hunting tooth）」設計，對 3D 列印齒輪特別有效。
行星齒輪減速比公式：為什麼是 1 + Zr/Zs？
行星齒輪組由太陽輪（Zs）、數顆行星輪（Zp）、內齒輪（Zr）與行星架組成。最常見的接法是內齒輪固定、太陽輪輸入、行星架輸出。因為行星架本身也在轉，減速比不是單純的 Zr/Zs，而要用 Willis 公式推導：
(ns − nc) / (nr − nc) = −Zr / Zs → 內齒輪固定（nr = 0）時 i = ns / nc = 1 + Zr / Zs
| 固定件 | 輸入 | 輸出 | 減速比 | 旋轉方向 |
|---|---|---|---|---|
| 內齒輪 | 太陽輪 | 行星架 | 1 + Zr/Zs | 同向 |
| 太陽輪 | 內齒輪 | 行星架 | 1 + Zs/Zr | 同向 |
| 行星架 | 太陽輪 | 內齒輪 | Zr/Zs | 反向 |
組裝條件：Zr = Zs + 2·Zp (Zs + Zr) / N = 整數（N = 行星輪數量）
例如 Zs = 12、Zp = 24、Zr = 60：i = 1 + 60/12 = 6，(12 + 60)/3 = 24，可裝 3 顆行星輪。Zs = Zp = 20、Zr = 60：i = 4，(20 + 60)/4 = 20，可裝 4 顆，但 3 顆無法等分。此外相鄰行星輪的齒頂圓不能互相碰撞：行星輪外徑必須小於 2a·sin(180°/N)，a 為太陽輪與行星輪的軸間距。
TIP本站內齒輪生成器的「行星減速機 m1 · 60 齒」預設可直接搭配上述齒數；3D 列印行星減速機常改用人字齒，自我對中、不易軸向滑脫。
設計範例：從需求反推齒數
- 確認輸入：NEMA 17 步進馬達，600 rpm 時扭矩約 0.4 N·m。
- 確認輸出需求：100 rpm、至少 2 N·m。所需減速比 i = 600 / 100 = 6。
- 估算扭矩：T₂ = 0.4 × 6 × 0.95 ≈ 2.28 N·m，符合需求（重要用途再乘安全係數 1.5–2）。
- 選擇型式：一級行星齒輪 Zs 12 / Zp 24 / Zr 60 剛好 i = 6，同軸輸出、體積小；或兩級正齒輪 15→37、15→36（i ≈ 5.92）。
- 計算軸間距：正齒輪 a = m(z₁ + z₂)/2，m1 的 15→37 為 26 mm；行星輪與太陽輪 a = 1 × (12 + 24)/2 = 18 mm。
- 用齒輪減速比計算工具確認總效率、輸出轉速與方向，再用生成器下載齒輪模型。
常見問題
減速比 1:10 是什麼意思？
輸入軸轉 10 圈、輸出軸轉 1 圈；輸出轉速為輸入的 1/10，扭矩約放大 10 倍再扣掉效率損失。
惰輪會改變減速比嗎？
不會。惰輪的齒數在公式中會被約掉，只改變旋轉方向與兩軸的距離。
減速比越大，馬達的功率也會變大嗎？
不會。功率 = 扭矩 × 轉速，減速只是把轉速換成扭矩，扣掉效率損失後功率只會減少。
行星齒輪減速比為什麼不是 Zr/Zs？
因為內齒輪固定時行星架也在旋轉，太陽輪相對行星架轉了 Zr/Zs 圈，再加上行星架本身的 1 圈，所以 i = 1 + Zr/Zs。只有行星架固定時，減速比才是 Zr/Zs（且方向相反）。
皮帶輪或鏈輪的減速比怎麼算？
公式相同：i = 從動輪齒數 ÷ 主動輪齒數。GT2 20 齒帶動 60 齒即 i = 3；平皮帶或 V 皮帶則用節圓直徑相除。