齒輪變位係數計算PROFILE SHIFT

1. 1輸入模數 m、兩齒輪齒數 z1、z2 與壓力角（一般為 20°）。
2. 2輸入實際需要的軸間距 a'，例如現有軸承孔距或馬達座位置。
3. 3選擇 Σx 的分配方式：一般用「平衡滑動率」，小齒輪齒數很少時可選「全部給小齒輪」。
4. 4檢查兩齒輪的根切、齒頂厚與嚙合率是否都顯示 ✓，必要時調整齒數或軸間距。
5. 5點「帶入 3D 生成器」，以算出的 x1、x2 直接生成正齒輪組並下載 STEP / STL。

變位（profile shift）是在切齒時把刀具（基準齒條）往外或往內移動 x·m。正變位使齒根變厚、齒頂變尖，並讓兩齒輪的實際軸間距變大。給定目標軸間距 a' 後，先由 cos α' = a·cos α / a' 求出嚙合壓力角 α'，再用漸開線函數 inv α = tan α − α 求得 Σx = (z1+z2)(inv α' − inv α)/(2 tan α)。這是唯一能讓兩齒輪在 a' 下無背隙嚙合的變位總和。

根切：齒數 z 的齒輪不根切的最小變位為 xmin = 1 − z·sin²α/2（20° 時 z12 約 +0.30）。齒頂變尖：正變位越大齒頂越薄，一般建議齒頂厚 sa ≥ 0.25 m，表面硬化齒輪更需 ≥ 0.4 m。嚙合率：變位與齒頂縮短都會降低嚙合率，建議 εα ≥ 1.2。三項都通過再出圖或列印。

3D 列印的小齒輪常用 10–14 齒來縮小體積，若不變位會嚴重根切、齒根強度不足。用本工具算出 x1、x2 後，可一鍵帶入正齒輪組生成器，它會以相同的變位與軸間距建模，直接下載 STEP / STL。FDM 列印另建議加 0.05–0.1 mm 齒隙或微增軸間距。

inv α = tan α − α
a = m(z1 + z2) / 2 ;  cos α' = a·cos α / a'
Σx = x1 + x2 = (z1 + z2)(inv α' − inv α) / (2 tan α)
y = (a' − a) / m ;  k = Σx − y  (tip shortening)
da = m(z + 2 + 2x − 2k) ;  df = m(z − 2.5 + 2x)
zmin = 2(1 − x) / sin²α  →  xmin = 1 − z·sin²α / 2
balanced: x_small = Σx/2 + (0.5 − Σx/2)·lg(u) / lg(z1·z2 / 100),  u = z_large / z_small

計算結果僅供設計參考，實際製造請依廠商型錄與相關標準確認。