行星齒輪減速機設計：齒數條件、減速比計算與 3D 列印建議（含可行齒數組合表）

行星齒輪組的構造與減速比

行星齒輪組由中心的太陽輪（Zs）、圍繞太陽輪的 N 顆行星輪（Zp）、外圈的內齒輪（Zr），以及支撐行星輪的行星架組成。三個構件中固定一個、輸入一個、另一個輸出，就能得到不同的減速比；最常見的接法是內齒輪固定、太陽輪輸入、行星架輸出。

Willis 公式：(ns − nc) / (nr − nc) = −Zr / Zs　→　內齒輪固定（nr = 0）：i = ns / nc = 1 + Zr / Zs

扭矩（忽略損失）：Tc = Ts · i　　內齒輪反作用扭矩 Tr = Ts · (i − 1)

負載由 N 顆行星輪同時分擔，所以行星減速機體積小、扭矩大；但內齒輪承受的反作用扭矩接近輸出扭矩，外殼與內齒輪的固定方式必須足夠牢固。多級串接時減速比相乘，例如兩級 6 × 6 = 36。內齒輪固定時 i = 2 + 2Zp/Zs，因此單級減速比一定大於 2。

TIP輸入軸與輸出軸同心、旋轉方向相同，是行星減速機最適合直接裝在步進馬達或伺服馬達前端的原因。

齒數條件：同心、等分裝配與相鄰條件

行星齒輪的齒數不能隨意搭配。使用標準（不變位）齒輪時，必須同時滿足下列條件：

同心條件：Zr = Zs + 2·Zp　　軸間距 a = m(Zs + Zp)/2 = m(Zr − Zp)/2

等分裝配條件：(Zs + Zr) / N = 整數

相鄰條件：(Zs + Zp) · sin(180° / N) > Zp + 2

• 同心條件：太陽輪–行星輪與行星輪–內齒輪兩對嚙合的軸間距必須相同，行星輪才能同時與兩邊嚙合。
• 等分裝配條件：行星輪以 360°/N 等角度排列時，每一顆都要剛好落在太陽輪與內齒輪的齒間；不滿足時只能不等分排列，且行星輪只能放在 360°/(Zs + Zr) 的整數倍角度上。
• 相鄰條件：相鄰兩顆行星輪的中心距為 2a·sin(180°/N)，必須大於行星輪齒頂圓直徑 m(Zp + 2)，否則會互相碰撞；3D 列印建議再保留 0.5–1 mm。
• 內齒輪干涉：內齒輪與行星輪的齒數差 Zr − Zp（= Zs + Zp）建議 ≥ 12（壓力角 20°），一般組合都會自動滿足。
• 根切：太陽輪通常最小，20° 壓力角少於 17 齒會根切；3D 列印用 12–16 齒仍可使用，但齒根較弱。

相鄰條件限制了單級減速比的上限：行星輪越大減速比越高，但行星輪越多，彼此越擠。以太陽輪 12 齒為例（僅考慮相鄰條件）：

所以減速比大於 6 時幾乎只能用 3 顆行星輪；想用 4–6 顆行星輪分擔負載時，單級減速比大多落在 3–5。3 顆行星輪的負載分配最容易平均，也是最常見的配置。

可行齒數組合表（減速比 3–10）

下表以模數 m = 1 列出同時滿足同心、等分裝配與相鄰條件的標準組合，實際尺寸乘以模數即可。「可裝行星輪數」已檢查等分裝配與相鄰條件（不含 N = 2）；最後一欄是行星輪數最多時，相鄰兩顆行星輪齒頂圓之間的間隙。

• 12 / 24 / 60 即內齒輪生成器「行星減速機 m1 · 60 齒」的組合（外徑 72 mm），減速比 6、3 顆行星輪。
• 15 / 15 / 45 雖然可裝 5 顆，但鄰接間隙只有 0.63 mm（m1），3D 列印建議最多 4 顆。
• 20 / 20 / 60 與 16 / 16 / 48 的 Zs + Zr 不能被 3 整除，只能裝 4 顆（或 5 顆）。
• 減速比 7 以上時太陽輪很小、內齒輪很大（12 / 48 / 108 的內齒輪節圓為 ⌀108 mm），通常改用兩級較緊湊。

TIP在齒輪減速比計算工具輸入等效的一級（例如 z1 = 12、z2 = 72，即 i = 6）可以快速估算輸出轉速與扭矩；注意行星減速機的輸出方向與輸入相同。

非標準齒數：用變位湊出 5.18 等減速比

當 Zr − Zs 為奇數時，Zp = (Zr − Zs)/2 不是整數，標準齒輪無法同時與兩邊嚙合。這時可以讓行星輪少半齒，再用正變位把太陽輪–行星輪的軸間距「撐開」，對上行星輪–內齒輪的軸間距。以常見的 5.18:1 為例，其中一組可行的齒數為：

Zs = 11、Zp = 17、Zr = 46　→　i = 1 + 46/11 ≈ 5.18　　(11 + 46) / 3 = 19 → 可裝 3 顆

行星輪–內齒輪 a = m(46 − 17)/2 = 14.5 mm　　太陽輪–行星輪標準 a₀ = m(11 + 17)/2 = 14.0 mm（m = 1）

cos αw = a₀ · cos α / a　→　αw ≈ 24.87°　　Σx = (z₁ + z₂)(inv αw − inv α) / (2 tan α) ≈ +0.56

也就是太陽輪與行星輪的變位係數合計約 +0.56（中心距增加係數 y = 0.5，齒頂約需縮短 0.06m）。把全部變位放在 11 齒的太陽輪上（變位計算工具的「全部給小齒輪」分配），行星輪與內齒輪都維持標準齒形，同時太陽輪的根切也會消失（11 齒不根切所需的最小變位約 0.36）。代價是太陽輪的齒頂厚只剩約 0.30·m：SLS、SLA 沒有問題，FDM 以 m1 列印就太尖，建議改用 m1.5 或選擇標準組合。

• 本站內齒輪生成器產生標準（不變位）內齒輪，因此變位請放在太陽輪或行星輪；行星輪一旦變位，行星輪–內齒輪的軸間距也會改變，需要重新計算。
• 等分裝配條件與變位無關，(Zs + Zr)/N 仍然必須是整數。
• 先用變位計算工具輸入 m、z₁ = 11、z₂ = 17 與目標軸間距 14.5 mm 求出 Σx，再到正齒輪生成器輸入變位係數產生太陽輪。

TIP只需要大約的減速比時，請優先選用上表的標準組合；只有一定要特定減速比（例如配合既有規格）時才用變位，設計與檢查都會簡單很多。

3D 列印行星減速機：模數、齒隙與結構建議

• 軸間距可再加 0.05–0.1 mm，吸收列印誤差與熱膨脹，避免卡死。
• 行星輪改用人字齒輪可以自我對中、不會軸向滑出，運轉也較安靜。
• 行星輪裝在 ⌀3 mm 銷或小型軸承（例如 623：3 × 10 × 4 mm）上；行星架用上下兩片夾住行星輪，剛性比單邊懸臂好。
• 讓太陽輪在徑向稍微浮動（不另外加軸承支撐），3 顆行星輪的負載分配會更平均。
• 內齒輪可以直接與外殼一體列印，固定處要能承受 (i − 1) 倍輸入扭矩的反作用力。
• 使用 PTFE 或矽基潤滑脂，避免會侵蝕塑膠的石油系油品。

例題：NEMA 17 步進馬達的 6:1 行星減速機

1. 輸入：NEMA 17 步進馬達，低速扭矩約 0.4 N·m；目標減速比約 6。
2. 齒數：選表中的 Zs 12 / Zp 24 / Zr 60，m = 1，3 顆行星輪，i = 1 + 60/12 = 6。
3. 尺寸：太陽輪–行星輪軸間距 a = 1 × (12 + 24)/2 = 18 mm；內齒輪節圓 ⌀60 mm，可直接用內齒輪生成器的「行星減速機 m1 · 60 齒」（外徑 72 mm）。
4. 輸出扭矩：T ≈ 0.4 × 6 × 0.95 ≈ 2.28 N·m（效率以 95% 估算）。
5. 齒面受力：每顆行星輪的切向力 Ft = 2·Ts / (N·ds) = 2 × 400 N·mm / (3 × 12 mm) ≈ 22 N；考慮負載分配不均（係數約 1.3）約 29 N。
6. 需要更大減速比時串接兩級：6 × 6 = 36，總效率約 0.95² ≈ 90%。

太陽輪與行星輪可以用正齒輪生成器產生（或用齒輪組配對生成器一次產生太陽輪–行星輪並確認軸間距），內齒輪用內齒輪生成器，最後用齒輪減速比計算工具驗算輸出轉速與扭矩。