蝸桿蝸輪設計：導程角、自鎖條件、減速比與效率計算

蝸桿蝸輪的構造與減速比

蝸桿（Worm）外形像一支螺絲，蝸輪（Worm Wheel）則像一顆帶喉部凹弧的斜齒輪，兩軸在空間中交錯 90°。蝸桿每轉一圈，蝸輪只前進「條數」個齒，因此單級就能做到 5–100 的大減速比，常用於升降台、旋轉台、閥門致動器與捲揚機構。

i = z₂ / z₁　　d₁ = q · m　　d₂ = m · z₂　　a = (d₁ + d₂) / 2 = m · (q + z₂) / 2

z₁ 為蝸桿條數（頭數）、z₂ 為蝸輪齒數、m 為模數（蝸桿的軸向模數 = 蝸輪的端面模數）、q 為直徑係數。例如 m2、q10、單條蝸桿配 40 齒蝸輪：i = 40，蝸桿節徑 20 mm、蝸輪節徑 80 mm，軸間距 a = 50 mm。改用雙條蝸桿，減速比就變成 20。

TIP蝸桿與蝸輪的旋向必須相同（右旋配右旋），而且模數、壓力角、導程角都要一致。本站的蝸輪生成器會依蝸桿的節徑與條數自動算出螺旋角。

導程角怎麼算？

軸向周節 px = π · m　　導程 pz = z₁ · px　　tan γ = pz / (π · d₁) = z₁ / q

導程角 γ 是蝸桿螺紋與垂直軸線平面的夾角，決定了效率與是否自鎖。條數越多、直徑係數 q 越小，導程角越大。下表為常用 q 值（ISO / JIS 建議 8、10、12.5、16）與條數的導程角：

q 小 → 導程角大、效率高，但蝸桿細、剛性差、容易彎曲；q 大 → 蝸桿粗壯、容易自鎖，但效率低。蝸桿細長又承受大負載時，彎曲變形會讓嚙合偏移，這也是 q 不能太小的原因。

自鎖條件：tan γ < μ

當蝸輪反過來推動蝸桿時，若螺紋斜面的摩擦力大到足以抵抗滑動，傳動就會「自鎖」——蝸輪推不動蝸桿，負載可以停在原位，不需要煞車。條件是導程角小於當量摩擦角：

ρ' = atan(μ / cos αn)　　自鎖條件：γ ≤ ρ'（約為 tan γ < μ）

• 靜止時摩擦係數較高（鋼對青銅約 0.1–0.15），對應 ρ' 約 6°–9°，所以導程角 < 約 5° 的單條蝸桿多半能靜態自鎖。
• 運轉中滑動速度上升、潤滑油膜形成後，μ 可降到 0.03–0.05，ρ' 只剩約 2°–3°；這時遇到振動或衝擊，蝸輪可能慢慢反轉（動態不自鎖）。
• 能自鎖的蝸桿，正向效率一定低於 50%：γ = ρ' 時 η = tan ρ' / tan 2ρ' < 0.5。要自鎖，就得接受低效率與發熱。

TIP自鎖會受潤滑、溫度、振動與磨耗影響，起重、升降等安全相關用途不能只靠自鎖，仍須加裝煞車或機械鎖定。

效率估算

正向效率 η = tan γ / tan(γ + ρ')　　反向效率 η' = tan(γ − ρ') / tan γ（≤ 0 即自鎖）

μ = 0.03 對應淬火鋼蝸桿配磷青銅蝸輪、良好潤滑與較高滑動速度；0.05 為一般潤滑；0.1 為起動瞬間或潤滑不足；0.1–0.2 為 3D 列印的塑膠蝸桿上潤滑脂的情況。表中為嚙合效率，實際還要扣掉軸承與攪油損失約 2–5%。

滑動速度 vs = π · d₁ · n₁ / (60000 · cos γ)　（m/s）

例如 d₁ = 20 mm、1500 rpm 時 vs ≈ 1.58 m/s。滑動速度越高，油膜越完整、μ 越低，但發熱也越多；損失的功率全部變成熱，輸入 100 W、效率 65% 時，有 35 W 需要靠箱體散熱。

受力與設計步驟

T₂ = T₁ · i · η　　Ft₂ = Fa₁ = 2T₂ / d₂　　Ft₁ = Fa₂ = 2T₁ / d₁

蝸輪的切線力等於蝸桿的軸向力，數值往往很大，所以蝸桿軸兩端要用能承受軸向力的軸承（角接觸軸承、圓錐滾子軸承或止推軸承），正反轉時兩個方向都要定位。

1. 決定減速比 i 與條數 z₁：要自鎖選單條，要效率選雙條以上；蝸輪齒數通常取 28 齒以上。
2. 選模數 m 與直徑係數 q，計算導程角 γ = atan(z₁/q)。
3. 計算軸間距 a = m(q + z₂)/2，並確認安裝空間。
4. 估算效率 η、輸出扭矩 T₂ 與蝸桿軸向力，確認是否需要自鎖。
5. 蝸桿螺紋長度 b₁ ≥ (11 + 0.06·z₂)·m；蝸輪齒寬約為蝸桿外徑的 0.7–0.75 倍。
6. 評估發熱與潤滑方式，連續運轉的減速機要計算散熱。

範例：NEMA 17 馬達 0.4 N·m 驅動 m2、q10、單條蝸桿與 40 齒蝸輪。γ = 5.71°，μ = 0.05 時 η ≈ 65%，輸出 T₂ = 0.4 × 40 × 0.65 ≈ 10.4 N·m；蝸桿軸向力 Fa₁ = 2 × 10.4 / 0.08 ≈ 260 N；螺紋長度至少 (11 + 2.4) × 2 ≈ 27 mm；軸間距 50 mm。

材料、潤滑與 3D 列印建議

• 工業標準組合是淬火研磨鋼蝸桿配磷青銅蝸輪：硬軟搭配，磨耗集中在容易更換的蝸輪。
• 蝸桿蝸輪是滑動接觸，潤滑比一般齒輪重要得多；油浴潤滑使用含極壓添加劑的齒輪油，小型機構用潤滑脂。
• 3D 列印建議模數 ≥ 1、q = 8–10，蝸輪用 POM 類、尼龍或 PETG，並塗潤滑脂；PLA 在摩擦發熱下容易軟化。
• 蝸桿直立列印時，螺紋下側齒面是大角度懸垂，建議層高 ≤ 0.15 mm 並加強冷卻；精度要求高可改用 SLS / MJF 尼龍。
• 裝配時讓蝸桿軸線對準蝸輪齒寬中央，軸間距誤差會直接造成齒隙或卡死，可預留 0.1–0.2 mm 調整量。