壓縮彈簧設計計算：彈簧常數公式、彈簧指數、自由長與密著長（含例題）

彈簧常數公式：k = G·d⁴ / (8·D³·n)

螺旋壓縮彈簧受壓時，線材本身其實是在承受扭轉。把每一圈線材看成一根被扭轉的細桿，就能推導出彈簧常數（剛性）k，也就是每壓縮 1 mm 需要多少力：

k = F / δ = G·d⁴ / (8·D³·n)　　δ = 8·F·D³·n / (G·d⁴)

d 為線徑，D 為中徑（線材中心所在的圓），n 為有效圈數，G 為材料的剪力彈性係數（N/mm²）。型錄通常標示外徑 OD 或內徑 ID，換算時 D = OD − d = ID + d。只有有效圈會變形，並緊端貼在一起的支撐圈不計入 n；總圈數 Nt 則包含支撐圈。

線徑以四次方影響 k、中徑以三次方影響 k，所以調整彈力時先動線徑或中徑，微調再改圈數。例如 d = 1.5 mm、D = 13.5 mm、n = 8 的琴鋼線彈簧，k = 78500 × 1.5⁴ / (8 × 13.5³ × 8) ≈ 2.52 N/mm。

TIP線徑公差的影響常被低估：d = 1 mm 時 ±0.02 mm 的線徑誤差就會讓 k 變化約 ±8%。需要精確彈力時，請規定「某長度下的負荷 ± 公差」，讓彈簧廠以圈數微調，而不是只指定 k。

彈簧指數 C = D/d 與 Wahl 應力修正

彈簧指數 C 表示彈簧「捲得多緊」。C 太小時，線材在捲製時被嚴重彎曲，內側應力集中、容易斷裂，也很難捲製；C 太大時，彈簧軟、容易互相纏繞或挫曲，外徑與自由長的公差也難控制。一般設計取 4–12，最常用 6–10；本站的彈簧生成器在 C 小於 4 或大於 16 時會提出警告。

C = D / d　　Kw = (4C − 1) / (4C − 4) + 0.615 / C

線材捲成螺旋之後，內側的剪應力比直桿扭轉時高。Wahl 係數 Kw 同時修正曲率與直接剪力的影響，C 越小、修正越大：

TIP空間受限時先決定外徑 OD（或內徑與導桿直徑），再用 C = 6–10 推出線徑。例如 OD 15 mm 取 d = 1.5 mm，得 D = 13.5 mm、C = 9，落在理想範圍內。

端部形式、自由長與密著長

自由長 L0 是彈簧不受力時的長度；密著長 Ls（密著高度）是所有線圈壓到互相貼緊、無法再壓縮時的長度。兩者之差 L0 − Ls 就是最大可用壓縮量。端部形式決定有幾圈不參與變形（端圈 Ne），以及長度的計算方式：

表中公式採用 Shigley《機械設計》的慣例，並緊端的算法與本站彈簧生成器相同：兩端各加 1 圈節距等於線徑的支撐圈，研磨則把兩端各磨掉約半個線徑。並緊端讓彈簧能平穩站立；研磨端再讓受力面垂直於軸線、偏擺最小，是精密機構的首選。

• 使用中的最短長度至少要比 Ls 多出行程的 10–15%，不要讓彈簧壓到密著，否則線圈互相撞擊、應力急升。
• 工作行程最好落在最大壓縮量的 20–80%：太小時端圈接觸不穩定、彈力不線性；太大時接近密著。
• 開放端研磨後的支撐面積很小，生成器會建議改用並緊端。

材料與剪力彈性係數 G：SWP、SUS304、磷青銅

G 是剪力彈性係數（橫彈性係數），與楊氏係數 E 的關係為 G = E / (2(1 + ν))。下表為 JIS B 2704 採用的設計值。抗拉強度會隨線徑大幅變化（線越細越強），表中為線徑約 1 mm 的參考範圍，實際請以線材規格為準。

τ = Kw · 8·F·D / (π·d³)

靜負荷（動作次數少）時，Kw 修正後的最大剪應力建議不超過抗拉強度的 45%（琴鋼線、硬鋼線）或 35%（不鏽鋼），這是 Shigley 對未經預壓處理（set removal）彈簧的建議值。需要反覆動作數十萬次以上的疲勞用途要再降低，請參考彈簧廠的疲勞線圖。

挫曲（側彎）檢查

不挫曲條件：L0 < 5.26·D（兩端平行面受壓、受導引）　　L0 < 2.63·D（端部可擺動）

細長的彈簧壓縮時會像柱子一樣向側面彎出。超過上述長徑比時，請在內側加導桿或在外側加導套，並保留適當間隙避免摩擦。

TIP不鏽鋼的 G 比琴鋼線低約 13%，同尺寸換材料時 k 也會下降約 13%；要維持 k 可以減少有效圈數（例如 8 → 7）。本站生成器以 G = 79.3 GPa（一般鋼材）計算，比 JIS 的 78.5 GPa 高約 1%。

設計例題：從負荷需求算出線徑、圈數與自由長

需求：彈簧套在 ⌀8 mm 導桿上、裝在 ⌀16 mm 的孔內；組裝長度 25 mm 時要有 10 N 預壓，壓到 19 mm（行程 6 mm）時為 25 N；材料用琴鋼線 SWP-B，兩端並緊。

1. 彈簧常數：k = (25 − 10) / (25 − 19) = 15 / 6 = 2.5 N/mm。
2. 決定尺寸：外徑取 15 mm（與 ⌀16 孔留 1 mm），線徑 1.5 mm → D = 13.5 mm、內徑 12 mm（套 ⌀8 導桿有餘裕）、C = 9。
3. 有效圈數：n = G·d⁴ / (8·D³·k) = 78500 × 5.0625 / (8 × 2460.4 × 2.5) ≈ 8.08，取 n = 8，實際 k ≈ 2.52 N/mm。
4. 自由長：L0 = 25 + 10 / 2.52 ≈ 29.0 mm；25 mm 與 19 mm 時的負荷約 10.1 N 與 25.2 N。
5. 密著長：並緊端 Nt = 10，Ls = (10 + 1) × 1.5 = 16.5 mm；最短工作長 19 mm 比 Ls 多 2.5 mm（約行程的 42%），工作點為最大壓縮量 12.5 mm 的 32–80%。
6. 節距：p = (L0 − 3d) / n = (29 − 4.5) / 8 ≈ 3.06 mm；若兩端研磨，p = (29 − 3) / 8 = 3.25 mm、Ls = 15 mm。
7. 應力：Kw = 1.162，F = 25 N 時 τ = 1.162 × 8 × 25 × 13.5 / (π × 1.5³) ≈ 296 MPa；壓到密著（F ≈ 31.5 N）時 τ ≈ 373 MPa，遠低於 0.45 × 約 2000 MPa ≈ 900 MPa。
8. 挫曲：L0 / D = 29 / 13.5 ≈ 2.15 < 2.63，即使端部沒有導引也不會挫曲。

把線徑 1.5、外徑 15、有效圈數 8、節距 3.06、並緊端輸入彈簧生成器，就能下載 STEP / STL 做組裝干涉檢查；規格卡顯示的 k 約 2.55 N/mm，是因為生成器使用 G = 79.3 GPa。壓縮時外徑只會增加約 0.03 mm，1 mm 的孔隙綽綽有餘。

TIP向彈簧廠訂製時請提供：材料、線徑 d、外徑或內徑（並註明導桿或孔徑）、自由長 L0、有效圈數或總圈數、端部形式，以及「某長度下的負荷與公差」（例如 19 mm 時 25 N ± 10%）。指定負荷比同時鎖死 L0、n、k 更容易製作。