傘齒輪設計指南：節錐角、錐距、齒寬計算與直齒／螺旋傘齒輪比較

傘齒輪是什麼？節錐角怎麼算

傘齒輪（Bevel Gear，又稱錐形齒輪）的齒分布在圓錐面上，用來在兩支相交的軸之間傳動，最常見的軸角 Σ 為 90°，例如手搖鑽、差速器、角度轉向器與機器人關節。一對傘齒輪可以看成兩個頂點重合、互相滾動的節錐，節錐的半頂角就是節錐角 δ，由齒數比決定。

i = z₂ / z₁　　Σ = 90° 時：δ₁ = atan(z₁ / z₂)，δ₂ = 90° − δ₁

例如 20:30 的一對：δ₁ = atan(20/30) = 33.69°、δ₂ = 56.31°，減速比 1.5。軸角不是 90° 時要用一般式：

tan δ₁ = sin Σ / (z₂/z₁ + cos Σ)　　δ₂ = Σ − δ₁

同樣是 20:30，Σ = 60° 時 δ₁ = 23.41°、δ₂ = 36.59°；Σ = 120° 時 δ₁ = 40.89°、δ₂ = 79.11°。本站傘齒輪生成器固定為 90° 軸角，非 90° 的配對需依上式計算節錐角後在 CAD 中另行建模。

TIP兩軸平行用正齒輪或斜齒輪（可用正齒輪對生成器一次產生兩顆）；兩軸相交用傘齒輪；兩軸交錯而不相交，則用蝸桿蝸輪或戟齒輪。

主要尺寸：錐距 R、齒寬 b、外徑與相當齒數

傘齒輪的模數 m 與節圓直徑 d 都以大端（外端）為準。所有齒面都朝錐頂收斂，越靠近錐頂齒越小，所以齒寬不能太大。

d = m · z　　R = m · √(z₁² + z₂²) / 2 = d₂ / (2 sin δ₂)　　b ≤ min(R/3, 10m)

外徑 da = m · (z + 2 cos δ)　　相當齒數 zv = z / cos δ　　小端 / 大端 = (R − b) / R

相當齒數 zv 是把背錐展開後得到的「虛擬正齒輪」齒數，用來判斷根切與齒的強度。20° 壓力角時 zv < 2/sin²α ≈ 17.1 會根切，換算成小齒輪的最少齒數約為 17.1 · cos δ₁：1:1 為 13 齒、1:2 為 16 齒、1:3 為 17 齒。下表為 m = 2 時常見齒數比的尺寸：

齒寬取 R/3 時，小端的模數只剩大端的 2/3。以 20:30、m2、b = 10 mm 為例：(36.06 − 10) / 36.06 ≈ 0.72，小端模數約 1.45。齒部的軸向高度為 b · cos δ，大齒輪約 5.55 mm、小齒輪約 8.32 mm。

TIP本站傘齒輪生成器在齒寬超過 R/3 時會提出警告、超過 R/2 時直接報錯，規格卡也會列出 δ、R、da、zv 與建議最大齒寬，可直接對照上表。

直齒、零度、螺旋與戟齒傘齒輪的差別

直齒傘齒輪同時嚙合的齒數少，每顆齒進出嚙合時都會產生衝擊，所以適合低速；螺旋傘齒輪的齒是彎曲的，任何時刻都有一對以上的齒在接觸，運轉平順許多，但軸向推力的方向取決於螺旋方向與旋轉方向。

TIP選螺旋傘齒輪時，要讓主要旋轉方向下小齒輪的軸向推力把自己推離錐頂（推出嚙合），避免反向推力讓齒輪越咬越緊而卡死。成對使用時兩顆的旋向必須相反（左旋配右旋）。

斜接齒輪、組裝與受力計算

斜接齒輪（等徑傘齒輪、Miter Gear）是齒數相同（1:1）的傘齒輪對，δ₁ = δ₂ = 45°，兩顆完全一樣，用來在不改變轉速的情況下把傳動方向轉 90°。本站傘齒輪生成器的「等徑傘齒輪 m2 · 20:20」就是一例。

• 兩顆的節錐頂點必須重合在兩軸交點上：小齒輪大端節圓平面到大齒輪軸線的距離 = d₂ / 2，反之為 d₁ / 2。以 20:30、m2 為例，分別是 30 mm 與 20 mm。
• 安裝距離誤差會造成齒頂干涉（太近）或背隙過大（太遠），用墊片微調兩顆齒輪的軸向位置。
• 傘齒輪一定會產生軸向力，兩支軸都要有能承受推力的軸承、推力墊圈或軸肩。
• 小齒輪盡量兩端支撐（跨式安裝）；懸臂安裝時，軸承要靠近齒輪並加大軸徑以減少撓曲。

Ft = 2T / dm　　dm = d − b · sin δ　　Fa = Ft · tan α · sin δ　　Fr = Ft · tan α · cos δ

例：20:30、m2、b = 10 mm 的小齒輪輸入 T = 1 N·m。小齒輪 d = 40 mm、δ₁ = 33.69°，平均節圓直徑 dm = 40 − 10 × sin 33.69° ≈ 34.45 mm，切向力 Ft = 2 × 1000 / 34.45 ≈ 58.1 N；小齒輪的軸向力 Fa ≈ 11.7 N、徑向力 Fr ≈ 17.6 N。軸角 90° 時，大齒輪的軸向力等於小齒輪的徑向力（17.6 N），大齒輪的徑向力等於小齒輪的軸向力（11.7 N）。

TIP多級傳動（例如傘齒輪後面再接正齒輪減速）時，用齒輪減速比計算工具串接各級齒數，確認總減速比、輸出扭矩與旋轉方向。

3D 列印傘齒輪的注意事項

• 大端（背面）朝下列印：齒面朝錐頂內縮，像金字塔一樣每層都比下一層小，不需要支撐。
• 節錐角越大，齒面越接近水平，層紋階梯越明顯。例如 1:3 的大齒輪 δ₂ = 71.57°，齒面與平台只差約 18°；建議層高 0.1–0.12 mm，或改用 SLA / MJF。
• 模數要以小端檢查：FDM 建議小端 ≥ m1（SLA m0.5、SLS / MJF m0.8）。齒寬取 R/3 時小端只有大端的 2/3，所以 FDM 的大端模數建議 m1.5 以上。
• FDM 齒隙設 0.1 mm、孔徑補償 0.2 mm；用 D 型孔，或止付螺絲搭配嵌入式六角螺帽固定在軸上。
• 軸向定位比正齒輪更重要：用軸肩、墊片或固定環確保兩顆齒輪的錐頂重合，並限制軸向竄動。
• 材料建議 PETG 或尼龍，搭配 PTFE 或矽基潤滑脂；高負載或大量生產可送 SLS / MJF 尼龍製作。

TIP先在生成器輸出大齒輪，再把「輸出零件」切換為小齒輪；兩顆的齒數、模數與壓力角要保持一致，節錐角才會對應。